レベル0からの数学論（第5回）：数学と空間

この記事では、数学が成立するために欠かせない“レベル0の前提条件”として、

• 位置（どこにあるのか）

• 方向（どちらへ進むのか）

という、私たちが当たり前すぎて気づかない数学の基礎中の基礎を解説します。

多くの人は「数学＝数の世界の話し」と考えがちですが、
実は数学は、徹底的に “空間”を前提にして成立している体系 です。

この記事は「レベル0からの数学論」シリーズの第5回です。

→ 第1回：数学とは何か？「数学が始まるための条件」
→ 第2回：すべての数学は「区別」から始まる
→ 第3回：“同一性”と“順番”がなければ数学は成立しない
→ 第4回：数学は「因果」と「持続」がそろって初めて働く

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★ 私たちはなぜ、数学を“空間抜きでも成立する”と思うのか？

私たちは普段、こんなふうに考えています。

• 数学は数の世界であり、空間とは関係がない

• どこで計算しても 2＋2＝4 は変わらない

• 空間がどうであれ、数学だけは万能である

一見するとこれは“正しい”ように見えます。

しかし実際には──

数学は、人間が世界を理解するときに使っている
“空間についての基礎設定（OS）”の上でしか動きません。

この空間OSには、

• 点を特定できる「位置」

• 前後左右を認識できる「方向」

• 空間が滑らかにつながっているという「継続性」

といった、人間ならではの空間の感じ方が必要です。

もしこの基礎設定が曖昧になれば、
数学は 「たった一歩も前に進めない」 のです。

数直線、座標、図形、グラフ、関数──
それらはすべて、

人間としての空間の見え方の中で成立している

のです。

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◆ 1：数学にはまず「位置」が必要である

数学は、何かを「どこかに置く」、空間的に「特定する」ことから始まります。

• 数直線の上の 0、1、2、３，４。。。。

• 座標平面上の (x, y)

• グラフ上の点の位置

これらは、すべて 位置（place / position）を前提にしている。

🔹 なぜ位置が必須なのか？

例：

1 と 2 の違い
→ これは単なる“数の違い”ではなく、
　“入れ替え不可能な位置の違い” でもあります。

この「位置」は物理空間の位置ではなく、
抽象的な「並びとしての位置（順序）」です。

数の世界には必ず、

• 前後

• 順序

• 序列

という 位置構造 が必要なのです。

もし位置が曖昧な世界だったら──

• 0 の「隣」が分からない

• 数直線が並べられない

• グラフが描けない

数学は“形を扱う学問”でもあるため、
位置が保証されない限り、数学は働かないのです。

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◆ 2：数学は「方向」を前提にしている

位置があっても、方向がなければ世界は動きません。

• 「左から右へ」という方向

• 「小さい→大きい」という方向

• 「0 → 1 → 2」 という増加する方向

• 　x が増える方向

• 　時間が前へ進む方向

全ては 方向性（directionality） の上に成立しています。

私たちは自然に「方向性（directionality）」を感じています。
この方向感覚は、数学が変化を扱うための大前提です。

🔹 方向が消えたら何が起こる？

例：
数直線で順番が入れ替わる世界を想像してください：

0 → 1 → 2 → 3
が、

3 → 1 → 0 → 2

など、毎瞬間ランダムに揺れ動く。

• 増加／減少が定義できない

• グラフの傾きが消滅したり、特定できない

• “連続性”が壊れる

数学が根本から働かなくなります。

つまり、

🔥 方向があるからこそ、変化は“追える”。

方向が消えれば、数学は成立しない。

数学は「方向のある世界」でしか働かないのです。

方向があるからこそ、変化が正確に“追える”。
方向が消えれば、数学は動かない。

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◆ 3　位置 × 方向 ＝ 数学が成立する「空間の基礎設定」

ここまでをまとめると、数学には少なくとも次の2つが必要でした。

• 位置 … 点を「どこか」に定められること

• 方向 … 変化の向き（どちらへ進んでいるか）を決められること

この2つがそろって、はじめて次のようなものが動き出します。

• 関数

• グラフ

• 微分・積分

• 図形

• 幾何学全体

• 物理数学（速度・加速度 など）

言い換えれば、

位置と方向が安定している世界の上にだけ、
これらの数学的な概念は成立する。

🔥 結論として、こう言えます。

ある一定のあり方で「空間」が整っているときにだけ、数学は成立する。

つまり、

• 数学は空間から自由な独立した万能の道具ではなく、

• 人間が体験できる空間、人間としての空間のあり方（秩序）に依存している体系

だと言えます。

私たちには、人間ならではの空間感覚（位置・方向・連続性、などなど。。。）があり、
数学はその認識の枠組みの上で動いているので、
私たち人間にとって空間がどう“見ているか”を避けて通れません。

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◆ 4：数学は“場所の意味”を切り離している

ここまでは、数学に必要な成立の条件として「空間（位置と方向）」を扱いました。

しかし、本来人間が経験している、実際の毎日の世界には、

• 自分の大好きな場所

• 危険で嫌いな場所

• 大切な家族の住む家

• 子供時代に遊んだ特別な公園

• 心が落ち着く田園風景

• 自分だけの部屋

のように “必ず意味を持った場所（place）” だけが実際には存在し、そんな場所で世界はあふれています。

数学は、この 意味をもった「場所性」をないものとして扱い、

どこも同じ
均質で違いのない空間（space）

として扱います。

◆ 次回予告：数学は“時間の基礎設定（Time OS）”にも依存している

今回は、数学が成立するために欠かせない
人間としての「空間についての基礎設定」 を見てきました。

しかし数学は、空間だけでなく──
時間が人間としてどのように“見える”か という、人間の時間についてのOSにも深く依存しています。

次回はそれについて書いてみたいです。

＊　この記事は「レベル0からの数学論」シリーズの第5回です。

→ 第1回：数学とは何か？「数学が始まるための条件」
→ 第2回：すべての数学は「区別」から始まる
→ 第3回：“同一性”と“順番”がなければ数学は成立しない
→ 第4回：数学は「因果」と「持続」がそろって初めて働く