数学が始まる地点─区別できること

■ 私たちはなぜ「数学はいつも正しい」と信じているのか？

多くの人は、どこかでこう信じています。

• 　2＋2＝4 は、世界のどこでも絶対に正しい。

• 　どんな場所に行っても数学は同じ答えがでる。

• 　数学は常に正しく、どんな場合でも通用する。

たしかに、私たちの日常生活の中では、
数学はとても正確です。

だれが計算しても、「３」と「２」を足せば、必ず「５」になります。

＊　買い物の計算
＊　建物の設計
＊　宇宙探査の軌道計算　──

どれも数学や算数抜きでは語れません。

我々現代人の毎日の生活は、数学や科学のおかげで快適に暮らせています。

有難いことではあるのですが、ここで一つだけ問いかけてみたいのです。

「数学って、本当に“どこでも・いつでも”通用するのだろうか？」

でも、もしかしたら、
数学が成り立つためには、 普段の生活では気がつけない“前提条件” があって、

その必要条件がそろった場合だけ
うまく働くのかもしれません。

この記事では、その前提条件のうち、

• ① 分離（Separation）

• ② 等間隔（Uniformity）

という２つにしぼって、
できるだけ、分かりやすく考えてみます。

🔹 数学には「3つのレベル」がある

数学は、実は次の3つの層からできています。

● レベル0：前提（数学が始まるための条件）

数える・区別する・同一性・時間・因果・等間隔……
これらの「当たり前すぎて気づかない条件」が整わないと、数学そのものが成立しません。

● レベル1：基礎数学

自然数・整数・実数
足し算・引き算、証明、定理など
私たちが学校で習う“数学の基本部分”です。

● レベル2：理論（高等数学・物理学）」

相対性理論、量子力学、幾何学など
レベル1の基礎数学を材料にして構築される「高度なモデル」の世界です。

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そして今回のテーマである 「区別」 は、
この最下層 レベル0（前提） の中でも、
特に重要な項目にあたります。

■ 前提① 分離 ―　「1」と「2」を分けられないとどうなるか？

まず、当たり前すぎて気づきにくいのが 「分離」 です。

私たちはふつう、

• 「1」と「2」はちがう

• 「私」と「あなた」はちがう

• この「机」とあの「椅子」はちがう

と、ごく自然に「区別」をしています。

でも、よく考えてみると、
数学はこの「区別できる」という前提がないと、そもそも始まりません。

＊　1と2を、別のものとして区別し数えられる、
＊　自分と他人、点Aと点B　などを、区別することが出来る。

──その前提があって初めて、

• 「1＋1＝2」という計算

• 「点Aから点Bまでの距離」の測定

が可能になります。

１と２の区別がもし出来なければ、１と２を足すことさえも出来なくなります。

● インクと水のたとえ

透明な水槽の中に、水が入っているとします。
そこに、インクを一滴、たらしてみる。

最初は「ここがインク」「ここが水」と境界が見えますが、
やがてインクは、ゆっくりと混ざり合いながら、全体に広がっていきます。

そのうち、
どこまでがインクで、どこからが水なのか、
はっきり区別できなくなっていきます。

このとき、もし誰かに

「インクは、どこにあるのか正確に数えてください」

と言われても、混ざっているので不可能です。

なぜなら、この例の様に、物事の境界線がなくなってしまった状況では、
「これが1」「これは1ではない」という区別自体があいまいになるからです。

数学や算数が成り立つための最低限として、

• ここからここまでが「1」

• それ以外は「1ではない」

という “線引き” がはっきりしている世界や状況 である必要があります。

つまり数学とは、
ものごとが明らかに分かれて存在している（ように見える）世界 を前提にして
はじめて組み立てられた道具だと言えます。

■ 前提② 等間隔 ― なぜ「数字は等間隔で並んでいる」状態が必要か？

次に、数学や算数が成り立つために必要な性低条件（前提）が 「等間隔」。

数字と数字の間が等しい間隔で、ずっと並び続けていることです。

数直線を思い浮かべてください。

…… 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜ 3 ｜ 4 ……

数字は、きれいに、等しい間隔で並んでいます。

• 0から1までの距離

• 1から2までの距離

• 2から3までの距離

──どれも「同じだけ離れている」ということになっています。

ものの長さを測る定規・メジャーも、
同じ発想に基づいています。

• 1cmごとの目盛りは、どこも等しい間隔

• 10cmは「1cmが10個分」

• 1mは「1cmが100個分」

この「等間隔」が崩れた瞬間、
数学や算数の計算の大部分は、たちまち動かなくなります。

● もし、1と2の間隔と、2と3の間隔がちがったら？

たとえば、こういう世界を想像してみてください。

• 0と1の距離より、1と2の距離が長い

• 2と3の距離は、気まぐれに伸びたり縮んだりする

このとき、

「1＋1＝2」
「2×2＝4」

という式は、本当にそのまま通用するでしょうか？

1の「大きさ」や
数字の間の「間隔」が変わってしまうと、

• 足し算や引き算

• 掛け算や割り算

• 距離や面積の計算

が、もう出来なくなります。

私たちが安心して計算できるのは、

数字が、まるで定規の目盛りみたいに
きれいに等間隔で並んでいる
という前提があるから

なのです。

言いかえれば、
“1→2→3→4…” が等間隔で続く世界 だからこそ、
方程式も、物理法則も、統計学も、経済予測も機能しているのです。

■ では数学の「前提が崩れる」とは？

ここまで見てきたのは、

• 「分離」＝ ものごとをハッキリ区別できる

• 「等間隔」＝ 数字の間の距離がどこでも同じ

という、数学や算数が成り立つための 最低限の条件 でした。

ではもし、

• インクと水のように、境界そのものが溶けてしまう世界

• 数字の間の“距離”そのものが、場所や状況によって伸び縮みする場所

があったとしたら……？

そんな世界では、

• どこからどこまでが「1」なのか線引きできない

• 「1」と「2」の間隔と、「2」と「3」の間隔がバラバラ

になり、
私たちの使っている数学は通用しません。

ここで言いたいのは、

「数学は間違っている」と言いたいわけではなく、
「数学が正常に働く世界には、はっきりした条件がある」
ということです。

数学は、
分離と等間隔という前提が守られている世界の中では、驚くほどよく働く。

しかし、その前提が当てはまらないのなら、
そこでは、別の「ルール」や別の「方法」が必要になるかもしれない。

数学や算数が可能になる条件や範囲があるということは、

その条件や範囲の外側、すなわち、「数学が通用しない外側の世界」も存在するかもしれない。。。

ということになります。

🔥 結論

数学や科学の土台を理解するための第一歩は、
その中身ではなく、「前提の前提（レベル0）」を見つめ直すことです。

数えること、区別すること、等間隔だとみなせること──
私たちが子どもの頃から“当然”と思ってきた条件が、
実は数学の世界を成立させるための不可欠な基盤です。

この事実を自覚すると、

• 数学が扱える領域は、世界全体のほんの一部である

• 数学は“絶対的真理”ではなく、“特殊状況で力を発揮する道具”である

• 数学の外側には、もっと豊かな「質」や「意味」の世界が広がっている

という、健全な視点が育ちます。

そして、数学の議論ではほとんど触れられてこなかった
この「レベル0の前提」こそ、私たちの認識世界そのものを形づくる
もっとも根本的な枠組みです。

■ この先にある「もっと深い話」について

この記事では、

• 「分離」と「等間隔」という、
  数字が成立するためのごく基本的な前提

• そして、
  その前提が崩れる世界を、少しだけ想像してみること

を目的にしました。

より本質的には、

• 数学がなぜ「人間の三次元的な意識構造」に依存しているのか

• 非ユークリッド幾何学や相対性理論でさえ、なぜ三次元から抜けきれないのか

• 「異次元は存在しない」のではなく、「存在しないことにされてきた」のではないか

といった、もう一段深いテーマがあります。

それらについては、別の記事

『数学には明らかな限界がある：数字が扱えない“外側の世界”とは何か？』

の中で、
4つの前提（分離・同一性・等間隔・因果）と
三次元意識・現代文明の在り方まで含めて、
より総論的に整理しています。

「数学の外側にあるかもしれない世界」や
「意識の構造との関係」に関心がある方は、
ぜひそちらもあわせて読んでみてください。