レベル0からの数学論（第7回）：足す・引く ― 計算の前に必要なOS

前回までの記事では、数学が「時間OS（前・今・後／一方向／ほぼ一定）」に依存していることを見てきました。
今回は、いよいよ小学校レベルの核心──

足す・引く（＋／−）が“できる”とは、どういうことか？

をレベル0から確認します。

ここで扱うのは、

小3レベルの計算が当たり前にできているとき、人間の意識の側に最低限必要な能力は何か？

という成立条件です。

(因みに、「生まれつきそなわっているか　VS　生まれてから学習したものか」という区別は、このシリーズの関心ではありません。)

数学や科学は、人間が持ちうる最も強力な知の道具のひとつです。
私たちが世界を測り、比較し、予測し、技術へ変換できるのは、数学が驚くほど整合的で、共有可能で、繰り返し使える形として働いているからです。

だからこそ逆にその基本を点検する価値があります。

このシリーズは、数学の成立条件（レベル0）から考え直し分解していく試みです。

この記事は「レベル0からの数学論」シリーズの第7回です。

■１　足す以前に必要なOS：グループ化と数のコンセプト（書き直し案）

足し算・引き算の前に、まず必要なのは最低限次の2つです。

① 類型化（同じものとしてまとめる）

リンゴが2つあるとき、私たちはそれを「リンゴが2個」と言えます。
これは、目の前の2つを 「同じ種類」と見なし、ひとまとまりとして理解できる という、人間の基礎的な能力（OS）が働いているからです。

② 数（何個あるか）というコンセプト

さらに、「1、2、3…」と数え上げて、最後に呼んだ数が「全体の数」だと分かる。
この 数えるという能力 がなければ、そもそも

　3 に 2 を足す　　　　5 から 1 を引く

という話さえも成立しません。

（他にも当然たくさんあると思いますが、今回はここまでにします。）

補足：単位と順序がそろうと、計算が“安定する”

算数では、この「同じ種類としてまとめる」ことが、単位（何を1として数えるか）をそろえるという形で現れます。
リンゴ2個＋ミカン3個は「5個」とは言えても、「リンゴが5個」にはなりません。

また、足し算が自然に“安定した操作”として働くためには、足す順番を入れ替えても結果が変わらないという感覚も（ほぼ自動的に）前提になります。
つまり、2＋3＝5 だけでなく、3＋2＝5 でも同じ結果になる――この「順序を入れ替えても同じ結果に落ち着く」という前提があるからこそ、

足し算の計算を行えます。

カントとの違い

ここで述べている「類型化してまとめる力」や「数える力」は、哲学的にはカント以来、「多様な与件を概念のもとに統一する働き（総合）」として論じられてきた問題と重なります。

ここでカントが言う「総合」とは、バラバラに与えられている多様なものを「同じもの」として束ね、ひとまとまりとして扱えるようにする働きのことです。
ただしこの記事の目的は、哲学史の整理ではありません。
小学校レベルの計算が“当たり前にできる”とき、意識の側に最低限そろっている前提（OS）を分解して見える化することにあります。
つまり、カントが提示した枠組みを「より手前のレベル」に下ろして、足す・引くという行為の成立条件を書いていきます。

■２　足すとは何か？

たとえば、

2 + 3 = 5

これは単なる記号操作に見えますが、レベル0から考え直すと、次の条件が必要です。

「2個のまとまり」と「3個のまとまり」を、ひとつのグループとしてまとめ直せる

※　私たちは足し算を「増える／減る」という物語として理解しがちです。これは「前→後」の時間感覚が安定しているときに自然に立ち上がる見方です（詳しくは前回を参照）。

■３　引くとは何か？

同じく、

5 − 2 = 3

が成立するには、次のOSが必要です。

　引いたもの（取り去ったもの）と、残ったものを区別できる　（区別できる能力が必要）
　残ったものを「同じものの続き」として理解できる　（持続の感覚が必要）
　「5あるはず」に対して「今は3しかない」という 欠けた分（差）を感じ取れる

引き算は、単に“減る”だけではなく、

全体と部分を分け、「残り」の分を「残り」として特定できる

という人間としての世界の見え方に依存しています。

ここまでの条件をまとめると、足し算・引き算が可能なのは、世界が実際にそうなっているからというより、人間にとって世界が「同じもの」「まとまり」「数」「増減」「残り」として経験されるという、人間側の形式（OS）に支えられているからです。
すなわち、人間にとってこの世界は「足せるもの／引けるもの」として捉えられているから、足し算・引き算が成立するのです。